フーリエ解析

この記事は、「道具としてのフーリエ解析」　涌井良幸、涌井貞美／著 — 日本実業出版社　を参考にさせてもらっています。

フーリエ解析とは

　この記事では、フーリエ解析を扱おうと思います。フーリエ解析とは言ってもフーリエ変換や高速フーリエ変換とか似たような解析方法がたくさんあります。

　それらを私なりにまとめてみました。

　フーリエ級数とフーリエ変換については、その言葉の違いを一言でいうと、
フーリエ級数: 三角関数を合成する(級数で表す)ことで目的とする関数を作り出すこと。
フーリエ変換: 2つの空間(たとえば時間空間と周波数空間)の間をつなぐ積分変換。
になるかと思います。

　フーリエ解析を支える数学的なバックグラウンドがいくつかあります。それらをまとめてみました。

　フーリエ解析の用途ですが、我々は普通波を時間的、空間的なものとして認識します。フーリエ解析を使うと、これを周波数の関数として扱うことができます。

　下記の図に示すように、私たちが普通、時間的、空間的なものとして捉える波を周波数がことなる三角関数の合成波形として扱えるということです。

フーリエ解析には線形応答理論という言葉が出てきます。これは、「倍の刺激があれば倍の反応が生まれ、2つの刺激があればそれぞれが独立して反応する」というシステムのことです。

ラジアン(rad):

半径rの円を描き、その円周上に長さをrをとります。このときにできる扇形の中心角を 1radと定義します。なお、「円周の長さ= 2×π×半径の長さ」ですから、ある点の周りを1周する角度は 2π [rad] になります。同様に直角 (90) はπ/2 [rad] となります。

　数学上有名な公式にオイラーの公式というものがあります。

オイラーの公式 : $e^{iθ} =^{cos θ + i sin θ}$

導出 :

$\frac{d}{dx} (u (x) v (x)) d x = v (x) \frac{d}{dx} (u (x) d x) + u (x) \frac{d}{dx} (v (x))$

両辺を区間 a ≦ x ≦ b でxに関して積分して、

$\int_{a}^{b} \frac{d}{dx} (u (x) v (x)) d x = \int_{a}^{b} u ‘ (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v ‘ (x) d x$

ここ微分積分の基本定理より

$\int_{a}^{b} \frac{d}{dx} (u (x) v (x)) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b}$

であるから

$[u (x) v (x)]_{a}^{b} = \int_{a}^{b} u ‘ (x) v (x) d x + \int_{a}^{b} u (x) v ‘ (x) d x$

即ち以下の部分積分の公式を得る。

$\int_{a}^{b} u (x) v ‘ (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u ‘ (x) v (x) d x$